| Kernwoorden / Vragen | Notities | |----------------------------------------------|----------------------------------------------------------------------------------------------| | **Zwaartekracht** | - Beschrijving van zwaartekracht als kracht die op massa’s werkt | | | - Formule: \( F = m g \) (met \( g \approx 9,81\, m/s^2 \)) | | | - Invloed op beweging: objecten vallen onder zwaartekracht, zonder luchtweerstand | | | - Differentiaalvergelijking voor vrije val: \( m \frac{d^2 y}{dt^2} = - m g \) | | | - Oplossing: \( y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \) | | **Bewegingswetten (Newton)** | - Eerste wet: rust of constante snelheid zonder externe kracht | | | - Tweede wet: kracht = massa × versnelling (\( F = m a \)) | | | - Derde wet: actie en reactie | | | - Differentialvergelijking: \( m \frac{d^2 x}{dt^2} = F(x,t) \) | | | - Voorbeelden: vrije val, harmonische oscillator | | **Harmonische oscillator** | - Bewegingsvergelijking: \( m \frac{d^2 x}{dt^2} + k x = 0 \) | | | - Oplossingen: sinus- en cosinusfuncties | | | - Amplitude, frequentie, periode | | **Oplossen van differentiaalvergelijkingen**| - Scheiden van variabelen: \( \frac{dy}{dx} = \frac{g(x)}{f(y)} \) | | | - Lineaire differentiaalvergelijkingen: \( \frac{dy}{dx} + p(x) y = q(x) \) | | | - Homogene en niet-homogene oplossingen | | **Samenvatting** | - Zwaartekracht beïnvloedt bewegingen; wordt beschreven door specifieke DV | | | - Bewegingswetten van Newton vormen basis voor meeste differentiaalvergelijkingen | | | - Oplossingsmethoden: scheiden van variabelen, lineaire methoden | | | - Toepassingen: vrije val, harmonische oscillatoren, mechanica in het algemeen | **Tip voor tentamenvoorbereiding:** Focus op het herkennen van de differentiaalvergelijkingen die bij verschillende fysische situaties horen en oefen met het scheiden van variabelen en lineaire oplossingen.

Zeker, hier is een gestructureerde indeling volgens de Cornell-methode voor het onderwerp Differentiaalvergelijkingen, toegespitst op zwaartekracht en bewegingswetten. Deze opzet is ideaal voor tentamenvoorbereiding, met de focus op kernconcepten en toepassingen. --- **Onderwerp: Differentiaalvergelijkingen - Toepassing op Zwaartekracht en Bewegingswetten** **Datum:** [Datum invullen] --- ### **Linkerkolom (≈6-7 cm breed)** **Kernwoorden & Vragen** * **DV Definitie & Orde** * Wat is een differentiaalvergelijking (DV)? * Wat betekent de orde van een DV? * **Bewegingswetten van Newton** * Hoe relateert de 2e Wet (F=m·a) aan DV's? * Wat is de algemene vorm van de bewegingsvergelijking? * **Vrije val (zonder luchtwrijving)** * Wat is de DV voor een object in vrije val? * Hoe los je deze Eerste Orde DV op? * **Vrije val met luchtwrijving** * Hoe modelleer je wrijving (evenredig met snelheid v)? * Wat is het verschil tussen de DV en de oplossing t.o.v. vrije val zonder wrijving? * **Harmonische oscillator (Voorbeeld)** * Welke kracht wet (Hooke) hoort hierbij? * Wat is de karakteristieke vorm van deze Tweede Orde DV? * **Scheiden van variabelen** * Wanneer is deze methode toepasbaar? * Geef een voorbeeld i.c.m. bewegingsvergelijking. * **Integratiefactor (1e Orde Lineair)** * Voor welke type DV's gebruik je dit? * Wat is het doel van de integratiefactor? --- ### **Rechterkolom (Grote notitiekolom)** **Inhoudelijke Notities** * **Definitie:** Een vergelijking die een functie relateert aan haar afgeleiden. De **orde** is de hoogste afgeleide die voorkomt. * **Newton's 2e Wet:** \(\sum F = m \cdot a\). Omdat \(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}\), wordt dit een differentiaalvergelijking voor positie \(s(t)\) of snelheid \(v(t)\). * Algemene vorm: \( m \frac{d^2s}{dt^2} = F(t, s, \frac{ds}{dt}) \) * **Toepassing: Vrije val (geen wrijving)** * Enige kracht: \(F_g = m \cdot g\). * DV: \( m \frac{dv}{dt} = mg \) → \( \frac{dv}{dt} = g \). * Oplossing (via integreren): \( v(t) = gt + C_1 \), en positie \( s(t) = \frac{1}{2}gt^2 + C_1t + C_2 \). * **Toepassing: Valbeweging met luchtwrijving** * Kracht: \(F_{totaal} = F_g - F_{wrijving}\). * Model: Wrijving evenredig met snelheid: \(F_w = -kv\). * DV: \( m \frac{dv}{dt} = mg - kv \). * Oplossing (via scheiden van variabelen of integratiefactor): \( v(t) = \frac{mg}{k} (1 - e^{-(k/m)t}) \). * **Terminale Snelheid:** \( v_{term} = \frac{mg}{k} \) (als \( t \to \infty \)). * **Toepassing: Harmonische Oscillator (Massa-Veersysteem)** * Kracht: Wet van Hooke, \(F = -k s\). * DV: \( m \frac{d^2s}{dt^2} = -k s \) → \( \frac{d^2s}{dt^2} + \frac{k}{m}s = 0 \). * Karakteristieke vergelijking: \( r^2 + \omega^2 = 0 \) (met \(\omega = \sqrt{k/m}\)). * Algemene Oplossing: \( s(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) \). * **Oplosmethoden (Belangrijk voor tentamen):** * **Scheiden van variabelen:** Voor DV's van de vorm \( \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) \). * Voorbeeld: \( \frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m}v \) kan hiermee worden opgelost. * **Integratiefactor:** Voor lineaire 1e orde DV's: \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \). * Integratiefactor: \( \mu(x) = e^{\int P(x)dx} \). --- ### **Samenvatting (Onderaan de pagina)** Differentiaalvergelijkingen zijn essentieel om beweging onder invloed van krachten zoals zwaartekracht te modelleren. De tweede wet van Newton (\(F=ma\)) vormt hierbij de basis, wat direct leidt tot een (meestal tweede orde) DV. * **Zwaartekrachtproblemen** kunnen eenvoudig zijn (vrije val, \(\frac{dv}{dt}=g\)) of complexer met **luchtwrijving**, wat een eerste orde lineaire DV oplevert (\( m\frac{dv}{dt} = mg - kv \)) met een **terminale snelheid** als resultaat. * De **Harmonische Oscillator** toont een tweede orde lineaire DV, wat resulteert in periodieke (sinusoidale) beweging. * Voor tentamen: Weet hoe je de DV uit een fysische situatie afleidt en beheers de basis-oplosmethoden (**Scheiden van variabelen** en **Integratiefactor**) om de vergelijkingen op te lossen en het gedrag van het systeem (snelheid, positie in de tijd) te beschrijven.