Natuurlijk! Hier is een overzicht van hoe je een Fortran-programma kunt ontwikkelen dat de Newton-Raphson methode gebruikt om de wortel van de functie \(f(x) = x^3 - 2x - 5\) te vinden met een nauwkeurigheid van 10^-8, startend vanaf \(x_0 = 2\). **Uitleg van de Newton-Raphson methode:** De Newton-Raphson methode is een iteratieve benadering om nulpunten van een functie te vinden. Gegeven een initiële schatting \(x_0\), wordt de volgende benadering berekend met: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] Hierbij is \(f'(x)\) de afgeleide van \(f(x)\). Voor onze functie: \[ f(x) = x^3 - 2x - 5 \] \[ f'(x) = 3x^2 - 2 \] Deze methode convergeert snel als de startwaarde dichtbij de werkelijke oplossing ligt, en stopt wanneer de verandering tussen iteraties kleiner is dan de gewenste nauwkeurigheid (10^-8). --- **Structuur en tips voor het Fortran-programma:** 1. **Modulariteit:** Scheid functies voor \(f(x)\) en \(f'(x)\) om het programma overzichtelijk en makkelijk te onderhouden te maken. 2. **Iteratiecontrole:** Gebruik een maximale aantal iteraties (bijvoorbeeld 100) om oneindige lussen te voorkomen. 3. **Stopconditie:** Stop zodra de absolute waarde van \(f(x)\) of de verandering in \(x\) onder de 10^-8 ligt. 4. **Output:** Geef de gevonden wortel weer en het aantal iteraties. --- **Voorbeeld Fortran-code:** ```fortran program newton_raphson implicit none real :: x, x_old, tol integer :: max_iter, iter real :: fx, dfx ! Instellingen tol = 1.0e-8 max_iter = 100 x = 2.0 ! startwaarde do iter = 1, max_iter fx = func(x) dfx = dfunc(x) if (abs(dfx) < 1.0e-12) then print *, 'Afgeleide te klein, methode kan niet verder.' exit end if x_old = x x = x - fx / dfx ! Controleer convergentie if (abs(x - x_old) < tol .or. abs(fx) < tol) then exit end if end do if (iter > max_iter) then print *, 'Geen convergentie binnen het maximum aantal iteraties.' else print *, 'Wortel gevonden:', x print *, 'Aantal iteraties:', iter end if contains function func(x) real, intent(in) :: x real :: func func = x**3 - 2.0*x - 5.0 end function func function dfunc(x) real, intent(in) :: x real :: dfunc dfunc = 3.0*x**2 - 2.0 end function dfunc end program newton_raphson ``` --- **Aanvullende tips:** - **Vergelijk resultaten:** Controleer of de gevonden wortel inderdaad f(x) ≈ 0 is. - **Startwaarde:** Als de methode niet convergeert, probeer dan een andere startwaarde. - **Nauwkeurigheid:** Pas de tolerantie aan afhankelijk van de vereiste precisie. - **Performance:** Omdat de functies klein zijn, is er geen speciale optimalisatie nodig, maar vermijd onnodige herberekeningen. --- Indien je verdere vragen hebt of hulp bij het aanpassen van het programma, help ik je graag!

Hier is een uitgebreide uitleg en implementatie van het Newton-Raphson programma in Fortran: ## Hoe de Newton-Raphson Methode Werkt De Newton-Raphson methode is een iteratieve methode voor het vinden van wortels van functies. Het algoritme: 1. Start met een initiële schatting x₀ 2. Bereken de volgende benadering: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ) 3. Herhaal tot |xₙ₊₁ - xₙ| < tolerantie of max iteraties bereikt Voor f(x) = x³ - 2x - 5 is de afgeleide: f'(x) = 3x² - 2 ## Fortran Programma ```fortran program newton_raphson implicit none ! Variabelen declaratie real(8) :: x0, x1, f, df, tolerance, error integer :: iter, max_iter ! Parameters initialiseren x0 = 2.0d0 ! Startwaarde tolerance = 1.0d-8 ! Nauwkeurigheid max_iter = 100 ! Maximum iteraties iter = 0 ! Iteratieteller error = 1.0d0 ! Initiële fout ! Hoofditeratie do while (error > tolerance .and. iter < max_iter) ! Bereken functie en afgeleide f = x0**3 - 2.0d0*x0 - 5.0d0 df = 3.0d0*x0**2 - 2.0d0 ! Newton-Raphson update x1 = x0 - f/df ! Bereken fout error = abs(x1 - x0) ! Update voor volgende iteratie x0 = x1 iter = iter + 1 ! Toon voortgang (optioneel) print *, 'Iteratie:', iter, 'x =', x1, 'f(x) =', f end do ! Resultaat weergeven print *, '----------------------------------------' print *, 'Convergentie bereikt na', iter, 'iteraties' print *, 'Gevonden wortel: x =', x1 print *, 'f(x) =', x1**3 - 2.0d0*x1 - 5.0d0 print *, 'Fout: ', error end program newton_raphson ``` ## Programma Structuur Tips 1. **Modulaire Opbouw**: Splits functie en afgeleide in aparte subroutines 2. **Foutafhandeling**: Controleer op deling door nul (df ≈ 0) 3. **Flexibiliteit**: Maak functie en afgeleide aanpasbaar via parameters 4. **Documentatie**: Voeg comments toe voor elke belangrijke stap ## Optimalisatie Tips ```fortran ! Verbeterde versie met modules en foutcontrole module newton_module implicit none contains real(8) function func(x) real(8), intent(in) :: x func = x**3 - 2.0d0*x - 5.0d0 end function func real(8) function deriv(x) real(8), intent(in) :: x deriv = 3.0d0*x**2 - 2.0d0 end function deriv end module newton_module program optimized_newton use newton_module implicit none real(8) :: x0, x1, tolerance, error integer :: iter, max_iter ! Initialisatie x0 = 2.0d0 tolerance = 1.0d-8 max_iter = 100 iter = 0 do while (iter < max_iter) if (abs(deriv(x0)) < 1.0d-10) then print *, 'Waarschuwing: Afgeleide bijna nul' exit endif x1 = x0 - func(x0)/deriv(x0) error = abs(x1 - x0) if (error < tolerance) exit x0 = x1 iter = iter + 1 end do print *, 'Resultaat: x =', x1, 'na', iter, 'iteraties' end program optimized_newton ``` ## Compilatie en Uitvoering Compileer met: ```bash gfortran -o newton programma.f90 ./newton ``` Verwacht resultaat: De wortel convergeert naar ongeveer x ≈ 2.0945514815 De methode convergeert snel (meestal binnen 5-6 iteraties) dankzij de kwadratische convergentie van Newton-Raphson!