Hier is een voorbeeld van een Fortran-programma dat de Runge-Kutta 4e orde methode gebruikt om de differentiaalvergelijking dy/dx = x^2 - y op te lossen met beginwaarde y(0) = 1. Het programma is geoptimaliseerd voor prestaties en nauwkeurigheid. ```fortran program runge_kutta_differential implicit none ! Parameters integer, parameter :: n_steps = 1000 ! Aantal stappen, kan worden aangepast real, parameter :: x_start = 0.0 real, parameter :: x_end = 1.0 real, parameter :: tol = 0.01 ! Gewenste nauwkeurigheid real :: h, x, y integer :: i ! Beginwaarden x = x_start y = 1.0 ! Stapgrootte berekenen h = (x_end - x_start) / n_steps ! Loop over de stappen do i = 1, n_steps call runge_kutta4(x, y, h) x = x + h ! Optioneel: print of sla op de resultaten end do contains subroutine runge_kutta4(x, y, h) implicit none real, intent(inout) :: y real, intent(in) :: x, h real :: k1, k2, k3, k4 k1 = h * f(x, y) k2 = h * f(x + h/2.0, y + k1/2.0) k3 = h * f(x + h/2.0, y + k2/2.0) k4 = h * f(x + h, y + k3) y = y + (k1 + 2.0*k2 + 2.0*k3 + k4)/6.0 end subroutine runge_kutta4 function f(x, y) result(dy_dx) implicit none real, intent(in) :: x, y real :: dy_dx dy_dx = x**2 - y end function f end program runge_kutta_differential ``` **Inzicht in optimalisatie voor prestaties en nauwkeurigheid:** 1. **Stapgrootte aanpassen:** Gebruik een adaptieve stapgrootte methode (zoals Runge-Kutta-Fehlberg) voor betere nauwkeurigheid en efficiëntie. Hier is een vaste stapgrootte gebruikt, wat eenvoudiger is, maar minder flexibel. 2. **Compiler-optimalisaties:** Compileer met optimalisatievlaggen zoals `-O3` en gebruik eventueel `-ffast-math` voor snellere wiskundige bewerkingen. 3. **In-lining functies:** Maak kleine functies zoals `f` inline (via compiler opties) om overhead te verminderen. 4. **Pre-allocatie en minimalisatie van variabele declaraties:** Declareer alle variabelen buiten de lus en hergebruik ze waar mogelijk. 5. **Gebruik van dubbele precisie:** Voor meer nauwkeurigheid, gebruik `real(kind=8)` in plaats van standaard `real`. 6. **Parallelisatie:** Voor grote problemen kan OpenMP of andere parallelisatietechnieken worden gebruikt, vooral bij meerdere integraties. Door deze tips toe te passen, verbetert u zowel de snelheid als de nauwkeurigheid van uw oplossing.

Hier is een efficiënt Fortran-programma dat de differentiaalvergelijking oplost met een adaptieve Runge-Kutta-methode (RK4), samen met prestatie- en nauwkeurigheidsoptimalisaties: ```fortran module ode_solver implicit none integer, parameter :: dp = kind(1.0d0) real(dp), parameter :: tolerance = 0.01_dp real(dp), parameter :: safety_fac = 0.9_dp real(dp), parameter :: min_step = 1.0e-6_dp real(dp), parameter :: max_step = 0.1_dp contains ! Rechterlid van de differentiaalvergelijking function f(x, y) result(df) real(dp), intent(in) :: x, y real(dp) :: df df = x**2 - y end function f ! Enkele RK4-stap subroutine rk4_step(x, y, h, y_next) real(dp), intent(in) :: x, y, h real(dp), intent(out) :: y_next real(dp) :: k1, k2, k3, k4 k1 = h * f(x, y) k2 = h * f(x + 0.5_dp*h, y + 0.5_dp*k1) k3 = h * f(x + 0.5_dp*h, y + 0.5_dp*k2) k4 = h * f(x + h, y + k3) y_next = y + (k1 + 2.0_dp*k2 + 2.0_dp*k3 + k4) / 6.0_dp end subroutine rk4_step ! Adaptieve stapgrootte controle met embedded RK-methode subroutine adaptive_rk(x, y, h, error_est) real(dp), intent(inout) :: x, y, h real(dp), intent(out) :: error_est real(dp) :: y1, y2, y_temp real(dp) :: h_half, scale ! Dubbele stap met halve stapgrootte voor foutschatting h_half = 0.5_dp * h ! Eén stap met volledige h call rk4_step(x, y, h, y1) ! Twee stappen met h/2 call rk4_step(x, y, h_half, y_temp) call rk4_step(x + h_half, y_temp, h_half, y2) ! Foutschatting (verschil tussen beide methoden) error_est = abs(y2 - y1) ! Pas stapgrootte aan op basis van fout if (error_est > tolerance) then scale = safety_fac * (tolerance / error_est)**0.2_dp h = max(min_step, min(max_step, scale * h)) else ! Accepteer stap en verhoog mogelijk stapgrootte scale = safety_fac * (tolerance / (error_est + 1.0e-10_dp))**0.2_dp h = min(max_step, max(min_step, scale * h)) y = y2 ! Gebruik de nauwkeurigere dubbele stap x = x + h end if end subroutine adaptive_rk end module ode_solver program solve_ode use ode_solver implicit none real(dp) :: x, y, h, error_est integer :: i, n_steps real(dp), parameter :: x_end = 2.0_dp ! Beginvoorwaarden x = 0.0_dp y = 1.0_dp h = 0.01_dp ! Initiële stapgrootte ! Open uitvoerbestand open(unit=10, file='solution.dat', status='replace') ! Schrijf beginpunt write(10, '(2F12.6)') x, y ! Integratie loop n_steps = 0 do while (x < x_end .and. n_steps < 10000) call adaptive_rk(x, y, h, error_est) ! Schrijf resultaat write(10, '(2F12.6, E12.4)') x, y, error_est n_steps = n_steps + 1 ! Voorkom overschrijding van x_end if (x + h > x_end) then h = x_end - x end if end do close(10) print *, 'Integratie voltooid. Resultaten opgeslagen in solution.dat' print *, 'Aantal stappen:', n_steps print *, 'Eindwaarde: y(', x, ') =', y end program solve_ode ``` **Optimalisaties voor Prestaties en Nauwkeurigheid:** 1. **Adaptieve Stapgrootte:** - Gebruikt embedded RK-methode voor foutschatting - Past stapgrootte dynamisch aan op basis van lokale fout - Kleine stappen waar de oplossing snel verandert, grote stappen waar deze vlak is 2. **Numerieke Optimalisaties:** - `kind(1.0d0)` voor dubbele precisie (64-bit) - Voorkomt herhaalde berekeningen door tussenresultaten op te slaan - Gebruikt intrinsieke functies (`abs`, `min`, `max`) 3. **Geheugenoptimalisatie:** - Minimale variabelen in integratieloop - Geen onnodige arrays voor deze eenvoudige ODE - Efficiënte functie-aanroepen 4. **Stabiliteitscontroles:** - Minimum en maximum stapgrootte om numerieke instabiliteit te voorkomen - Veiligheidsfactor om te conservatieve stapaanpassingen te voorkomen 5. **Code Structuur:** - Module voor betere organisatie en hergebruik - Duidelijke scheiding tussen functies en hoofdprogramma - Parametrisatie voor eenvoudige aanpassingen **Gebruik:** Compileer met: `gfortran -O3 -o ode_solver ode_program.f90` De `-O3` optimalisatie vlag activeert geavanceerde compiler-optimalisaties. Deze implementatie bereikt de gewenste nauwkeurigheid van 0.01 terwijl het aantal benodigde stappen wordt geminimaliseerd door de adaptieve stapgrootte controle.